Question

【题目】已知函数，．

(1)对,恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当时，求在 上的最大值和最小值；

(3)证明：对都有成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）原不等式等价于，参变分离可求参数的取值范围.

（2）当时，，该函数的极小值点为，因函数的定义域为，故分 和两种情况分类讨论即可.

（3）即证在上恒成立，也就是在上恒成立，令，，利用导数可证.

（1）由题意，在恒成立，

即，，在恒成立，

设，只须．

由于

所以时，，单调递减；

时，，单调递增；

故．因此．

所以的取值范围为．

（2）时，，，令，得．

当时，，单调递减；

时，，单调递增．

故在时，为最小值点，且．

由题意 ，，

1°当时，在最小值为，

，

由于．

．

故．

即当时，在最小值为，

最大值为．

2°当时，在单调递增，

，

，

综上所求．

当时，，

当时，．

（Ⅲ）即证：，

即证：，亦即证：，

设，即，

令，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

即．

又设，．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

故．

所以最小值与最大值均为．

但取得最小值与取得最大值时的不相同，故，

即成立，亦即结论成立．