Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．
（1）求AC与PB所成的角余弦值；
（2）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

分析：由“PA⊥底面ABCD，且∠DAB=90°”可知，此题建立空间直角坐标系相当方便．以A为坐标原点，AD长为单位长度，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标计算各题．
（1）利用余弦定理可知：cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

10

5

．所以，AC与PB所成的角余弦值为

10

5

．
（2）在MC上取一点N（x，y，z），要使AN⊥MC，只需

AN

•

MC

=0，所以N点坐标为(

1

5

，1，

2

5

)，∠ANB为所求二面角A-MC-B的平面角，则cos＜

AN

，

BN

＞=-

2

3

，所以所求二面角的余弦值为-

2

3

．
另解：可以计算两个平面的法向量分别为：平面AMC的法向量

n1

=(1，-1，2)，平面BMC的法向量为

n2

=(1，1，2)，cos＜

n1

，

n2

＞=

2

3

，所求二面角A-MC-B的余弦值为-

2

3

．

解答：证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，

1

2

)．
（1）解：因

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，
故|

AC

|=

2

，|

PB

|=

5

，

AC

•

PB

=2，
所以cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

10

5

．
所以，AC与PB所成的角余弦值为

10

5

．

（2）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使

NC

=λ

MC

，

NC

=(1-x，1-y，-z)，

MC

=(1，0，-

1

2

)，∴x=1-λ，y=1，z=

1

2

λ.．
要使AN⊥MC，只需

AN

•

MC

=0即x-

1

2

z=0，解得λ=

4

5

．
可知当λ=

4

5

时，N点坐标为(

1

5

，1，

2

5

)，能使

AN

•

MC

=0．
此时，

AN

=(

1

5

，1，

2

5

)，

BN

=(

1

5

，-1，

2

5

)，有

BN

•

MC

=0，
由

AN

•

MC

=0，

BN

•

MC

=0得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为
所求二面角A-MC-B的平面角．∵|

AN

|=

30

5

，|

BN

|=

30

5

，

AN

•

BN

=-

4

5

．
∴cos(

AN

，

BN

)=

AN • BN

| AN |•| BN |

=-

2

3

．故所求的二面角的余弦值为-

2

3

．

点评：本小题考查空间中的异面直线所成的角、二面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．