Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=

3

4

π，sinA=

5

5

．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若c-a=5-

10

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据sinA=

5

5

求得cosA的值，再由B=

π

4

-A得到sinB=sin(

π

4

-A)，然后根据两角和与差的公式可求得sinB的值．
（Ⅱ）由C=

3π

4

可求得sinC的值，进而根据正弦定理可求得a，c的关系，再由c-a=5-

10

可求出a，c的值，最后根据三角形的面积公式可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）因为C=

3

4

π，sinA=

5

5

，
所以cosA=

1-sin2A

=

2 5

5

．
由已知得B=

π

4

-A．
所以sinB=sin(

π

4

-A)=sin

π

4

cosA-cos

π

4

sinA=

2

2

•

2 5

5

-

2

2

•

5

5

=

10

10

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=

3π

4

，所以sinC=

2

2

且sinB=

10

10

．
由正弦定理得

a

c

=

sinA

sinC

=

10

5

．
又因为c-a=5-

10

，
所以c=5，a=

10

．
所以S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

10

•5•

10

10

=

5

2

．

点评：本题主要考查 同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦公式、正弦定理和三角形面积公式的应用．三角函数的公式比较多，很容易记混，对于公式的记忆，一定不能松懈．