Question

【题目】如图所示的几何体中，正方形所在平面垂直于平面，四边形为平行四边形，G为上一点，且平面，.

(1)求证：平面平面；

(2)当三棱锥体积最大时，求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

(1)利用面面垂直的性质定理可以得到线面垂直，然后得到线线垂直，再由已知的线面垂直得到线线垂直，利用线面垂直的判断定理得到线面垂直，最后利用面面垂直的判定定理证明出面面垂直；

(2)通过三棱锥的体积公式，由等积法可以得到：求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值．设出两个线段的长，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积公式可以求出平面与平面所成二面角的余弦值，最后利用同角的三角函数关系式中的平方和关系求出平面与平面所成二面角的正弦值.

(1)证明：因为平面平面，平面平面，

四边形正方形，即，平面，

所以平面，

又因为平面，所以，

因为平面，平面，

所以，

因为，平面，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面．

(2)解：，

求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值．

令，，

由(1)知，，

所以，当且仅当，

即时，，

以中点为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则

，，，

设为平面的一个法向量，

则，

可取，则，

因为四边形为平行四边形，为等腰直角三角形，

所以四边形为正方形，取平面的一个法向量为，

所以，所以，

即平面与平面所成二面角的正弦值为.