题目内容
【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，已知
，顶点P在平面ABC上的射影为
的外接圆圆心.
（1）证明：平面
平面ABC；
（2）若点M在棱PA上，
，且二面角P-BC-M的余弦值为
，试求
的值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）设
的中点为
，连接
，易知点为
的外接圆圆心，从而
平面
，即可证明平面
平面ABC；
（2）以
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面
与平面
的法向量，代入公式即可建立
的方程，解之即可.
（1）证明：如图，设的中点为，连接，
由题意，得
，则为直角三角形，
点为的外接圆圆心．
又点
在平面
上的射影为的外接圆圆心，
所以平面，
又
平面
，所以平面平面．
（2）解：由（1）可知平面，
所以
，
，
，
于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
设
，
，
，
设平面的法向量为
，
则
得
令
，得
，
，
即
．
设平面的法向量为
，
由
得
令
，得
，
，即
解得
即M为PA的中点．
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