Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左右焦点分别是F₁，F₂，过右焦点F₂且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点．
（1）若k=1，求|AB|的长度、△ABF₁的周长；
（2）若

AF2

=2

F2B

，求k的值．

Answer 1

（1）椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中a=2，∴△ABF₁的周长4a=8，
由

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

联立得7x²-8x-8=0
∴|AB|=

1+1

×

( 8 7 )2-4×(- 8 7 )

=

24

7

（2）设直线方程为y=k（x-1）代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2= 8k2 3+4k2 ------① x1x2= 4k2-12 3+4k2 ------②

∵

AF2

=2

F2B

，∴1-x₁=2（x₂-1）--③
由①③得x1=

4k2-9

3+4k2

，x2=

9+4k2

3+4k2

代入②k2=

5

4

，∴k=±

5

2