Question

（10分）对于函数，若存在实数使成立，则称点为函数的一个不动点.

（1）若，求函数f(x)的不动点；

（2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；

（3）若定义在实数集R上的函数恒满足，且存在n个不动点，设，求函数的最小值.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由x2-x=x得x=0或x=2 \f(x)的不动点为（0，0）和（2，2）………2分 　　　　 （2）由题意可知 ax2+bx-1=x有两个相异实根 ax2+(b-1)x-1=0有两个相异实根 显然a¹0 \D=(b-1)2+4a>0对bÎR恒成立 ……………4分 即恒成立 又 \a>0 即a的取值范围为(0，+∞) …………………6分 　　　　 （3）∵f(x)为R上的奇函数 \ f(0)=0 即（0，0）为f(x)的一个不动点 又设x0(x0¹0)满足f(x) = x 即f(x0) = x0 \ f(-x0) =- f(-x0) =- x0 即若点（x0，y0）为f(x)的不动点， 则（-x0，-y0）也为f(x)的不动点。 从而n为正奇数………………………………8分 从而 又 \当x=3时，取得最小值，最小值为……10分