Question

如图直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz．
（1）求的大小（用反三角函数表示）；
（2）设=（1，p，q），满足⊥平面SBC，求：
①的坐标；
②OA与平面SBC的夹角β（用反三角函数表示）；
③O到平面SBC的距离．
（3）设
①的坐标为______．
②异面直线SC、OB的距离为______

Answer 1

【答案】分析：（I）根据已知中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，我们求出各顶点的坐标，进而求出向量坐标，代入向量夹角公式，即可得到结论．
（II）①由已知中得向量=（1，p，q）为平面SBC的法向量，根据法向量根平面内任一个向量均垂直，数量积均为0，构造方程组，即可求出的坐标；②A与平面SBC的夹角β与OA的方向向量与的夹角互余，求出OA的方向向量，代入即可得到结论；
（III）①根据两向量垂直数量积为0，构造关于r，s的方程组，解方程组求出r，s，代入即可求出的坐标；②由（I）中直线SC、OB的夹角，结合四面体S-OBC的体积，根据V=•d，（其中θ为两条异面直线夹角，d为两条异面直线的夹角），即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）如图所示：
C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）
∴
∴（4分）
（Ⅱ）①∴，∴
，∴（7分）
②过O作OE⊥BC于E，则BC⊥面SOE，∴SOE⊥SAB又两面交于SE，过O作OH⊥SE于H，则OH⊥SBC，延长OA与CB交于F，则OF=2
连FH，则∠OFH为所求
，∴∴，
∴
∴
③由题设条件可得∠OBC是直角，可得出CB⊥面SOB，故CB⊥SB
又在直角三角形SOB内，可求得SB=，在梯形OABC内，可求得BC=，于是可得
又由题设条件得=
故由等体积法可得点O到面SBC的距离为=
（III）（1，-1，2）；（14分）．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求直线间夹角、距离，其中熟练掌握两个向量垂直，数量积为0，及向量夹角公式是解答本题的关键．