Question

已知平面上一定点C（-1，0）和一定直线l：x=-4．P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，．
（1）问点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据，，设出点P的坐标整理即可得到点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）直接设A、B两点的坐标，根据，得到A、B、C三点共线．且λ＞0；再把A的坐标用B的坐标表示出来；结合A、B两点在点P的轨迹上以及椭圆上的点的范围限制即可求出λ的取值范围．
解答：解：（1）由，得：，…（2分）
设P（x，y），则（x+4）²-4[（x+1）²+y²]=0，化简得：，…（4分）
点P在椭圆上，其方程为．…（6分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由得：，
所以，A、B、C三点共线．且λ＞0，
得：（x₁+1，y₁）+λ（x₂+1，y₂）=0，即：…（8分）
因为，所以①…（9分）
又因为，所以②…（10分）
由①-②得：，化简得：，…（12分）
因为-2≤x₂≤2，所以．
解得：所以λ的取值范围为．…（14分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线以及平面向量的综合问题．解决第二问的关键在于由，得到A、B、C三点共线．且λ＞0．