Question

（2009•嘉定区一模）（理）已知函数f（x）=x|x-a|-a，x∈R．
（1）当a=1时，求满足f（x）=x的x值；
（2）当a＞0时，写出函数f（x）的单调递增区间；
（3）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜0（结果用区间表示）．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：f(x)=x|x-1|-1=

x2-x-1，x≥1 -x2+x-1，x＜1

，再分段讨论f（x）=x，进而求出x的数值得到答案．
（2）由题意可得：f(x)=

x2-ax-a，x≥a -x2+ax-a，x＜a

，再分别讨论进而根据二次函数的性质可得答案．
（3）由x|x-a|-a＜0，当x≥a时，则有x²-ax-a＜0，解得x∈[a ， 

a+ a2+4a

2

)．当x＜a时，-x²+ax-a＜0，即-(x-

a

2

)2+(

a2

4

-a)＜0，再分别讨论

a2

4

-a＜0与

a2

4

-a≥0的情况，进而结合二次函数的性质得到答案．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=x|x-1|-1=

x2-x-1，x≥1 -x2+x-1，x＜1

，…（1分）
所以当x≥1时，由f（x）=x可得x²-x-1=x，即x²-2x-1=0，
所以解得x=1±

2

，
因为x≥1，
所以x=1+

2

．…（2分）
当x＜1时，由f（x）=x可得-x²+x-1=x，即x²=-1，无实数解．…（3分）
所以满足f（x）=x的x值为1+

2

．…（4分）
（2）由题意可得：f(x)=

x2-ax-a，x≥a -x2+ax-a，x＜a

，…（5分）
因为a＞0，所以，当x≥a时，f(x)=(x-

a

2

)2-(

a2

4

+a)，的单调递增区间是[a，+∞）；
当x＜a时，f(x)=-(x-

a

2

)2+(

a2

4

-a)，则根据二次函数的性质可得函数的单调递增区间是(-∞，

a

2

]．…（8分）
（注：两个区间写出一个得（2分），写出两个得（3分），区间不分开闭）
所以，f（x）的单调递增区间是(-∞，

a

2

]和[a，+∞）．…（9分）
（3）由x|x-a|-a＜0，
当x≥a时，则有x²-ax-a＜0，
因为f（a）=-a＜0，所以x∈[a ， 

a+ a2+4a

2

)．…（11分）
当x＜a时，-x²+ax-a＜0，即-(x-

a

2

)2+(

a2

4

-a)＜0，
当

a2

4

-a＜0，即0＜a＜4时，x∈（-∞，a）；…（13分）
当

a2

4

-a≥0，即a≥4时，x∈(-∞ ， 

a- a2-4a

2

)∪(

a+ a2-4a

2

 ， a)．…（14分）
综上可得，当0＜a＜4时，x∈(-∞ ， 

a+ a2+4a

2

)，
当a≥4时，x∈(-∞ ， 

a- a2-4a

2

)∪(

a+ a2-4a

2

 ， 

a+ a2+4a

2

)．…（16分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握分段函数的有关性质，以及一元二次函数的有关性质与一元二次方程、一元二次不等式的求解方法，此题考查了方程、不等式、函数之间的转化，转化与化归思想是数学上的一个很重要的数学思想方法，此题属于难题．