Question

如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，且.

（1）求直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）；（2）．

试题分析：由已知有AC、BC、CC₁两两互相垂直，故可分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.然后由已知就可写出所需各点的空间坐标．（1）由此就可写出向量的坐标，然后再由两向量的夹角公式：求出这两向量的夹角的余弦值，最后转化为对应两直线的夹角大小；只是应该注意两直线的夹角的取值范围是，而两向量的夹角的取值范围是；所以求出两向量的夹角的余弦值后取绝对值才是两直线的夹角的余弦值；（2）由中点坐标公式可求得点Ｅ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再设平面的一个法向量为,由,就可求出平面的一个法向量，从而就可求得这两向量夹角的余弦值，注意直线与平面所成的角的正弦值就等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值．
试题解析：解：分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则由题意可得：,,,,,,
又分别是的中点，,.                     3分
（1）因为， ，
所以，                     7分
直线与所成角的大小为.                                      8分
（2）设平面的一个法向量为,由,得,
可取，                                                    10分
又，所以，      13分
直线与平面所成角的正弦值为.                             14分