题目内容

已知椭圆与双曲线2x²-2y²=1共焦点，且过（ $数学公式$ ）
（1）求椭圆的标准方程．
（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为 $\text{[math]}$ =1，则c=1．
∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为 $\text{[math]}$ =1，∵椭圆过（ $\text{[math]}$ ，0），
∴ $\text{[math]}$ =2，∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ =1．
（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则
y=2x+b 且 $\text{[math]}$ =1得，9x²+8xb+2b²-2=0，∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ．
即x=- $\text{[math]}$ 两式消掉b得 y=- $\text{[math]}$ x．
令△=0，64b²-36（2b²-2）=0，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3
即当x=± $\text{[math]}$ 时斜率为2的直线与椭圆相切．
所以平行弦得中点轨迹方程为：y=- $\text{[math]}$ x（- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点（ $\text{[math]}$ ，0）代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程．
（2）设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），把y=2x+b 代入椭圆的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为y=- $\text{[math]}$ x，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b值，即得轨迹方程中自变量x
的范围．
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中自变量x的范围，是解题的易错点．

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给出下列命题：
①已知椭圆

=1的两个焦点为F₁，F₂，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是

．（把你认为正确命题的序号都填上）

（2004•宝山区一模）设直线2x-y+1=0与椭圆

=1相交于A、B两点．
（1）线段AB中点M的坐标及线段AB的长；
（2）已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆

=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB?k_OM为定值．试对双曲线

=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

给出下列命题：
①已知椭圆

=1的两个焦点为F₁，F₂，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上）

给出下列命题：
①已知椭圆

的两个焦点为F₁，F₂，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：

的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）

设直线2x-y+1=0与椭圆

相交于A、B两点．
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上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB?k_OM为定值．试对双曲线

写出具有类似特性的性质，并加以证明．