Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），且a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n+1+log₂a_n（n=1，2，3…），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）求数列{a_n}的通项公式，设出公比为q，由a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中项，这两个方程联立即可求出首项与公比，通项易求．
（II）若数列{b_n}满足b_n=a_n+1+log₂a_n（n=1，2，3…），由（I）知求数列{b_n}的前n项和S_n要用分组求和的技巧．

解答：解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q．
由a₁a₃=4可得a₂²=4，（1分）
因为a_n＞0，所以a₂=2（2分）
依题意有a₂+a₄=2（a₃+1），得2a₃=a₄=a₃q（3分）
因为a₃＞0，所以，q=2..（4分）
所以数列{a_n}通项为a_n=2^n-1（6分）
（II）b_n=a_n+1+log₂a_n=2ⁿ+n-1（18分）
可得Sn=(2+22+23++2n)+[1+2+3++(n-1)]=

2(1-2n)

1-2

+

(n-1)n

2

（12分）
=2n+1-2+

n(n-1)

2

（13分）

点评：本题考点是等差数列与等比数列的综合，考查等比数列的通项公式、等差数列的性质以及分组求和的技巧，以及根据题设条件选择方法的能力．