Question

12．如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠B₁AB=60°
（1）求A₁C与平面ABCD所成的角的大小；
（2）求异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由A₁A⊥平面ABCD，A是垂足，得∠A₁CA是A₁C与平面ABCD所成的角，由此能求出A₁C与平面ABCD所成的角的大小．
（2）由A₁C₁∥AC，得∠B₁CA是异面直线B₁C与A₁C₁所成角，由此能求出异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小．

解答 解：（1）设AB=1，∵在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠B₁AB=60°，
∴AB₁=2，BB₁=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∵A₁A⊥平面ABCD，A是垂足，
∴∠A₁CA是A₁C与平面ABCD所成的角，
∵tan∠A₁CA=$\frac{A{A}_{1}}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴∠A₁CA=arctan$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴A₁C与平面ABCD所成的角的大小为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（2）∵A₁C₁∥AC，∴∠B₁CA是异面直线B₁C与A₁C₁所成角，
∵AB₁=B₁C=2，AC=$\sqrt{2}$，
∴cos∠B₁CA=$\frac{{B}_{1}{C}^{2}+A{C}^{2}-A{{B}_{1}}^{2}}{2{B}_{1}C•AC}$=$\frac{4+2-4}{2×2×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴∠B₁CA=arccos$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小为arccos$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查线面角的大小的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．