Question

（本小题满分12分）已知椭圆，离心率为的椭圆经过点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线分别与椭圆交于和，是否存在常数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）（2）存在实数，使得.理由见解析

试题分析：（1）由题可知，即，
由此得，故椭圆方程是，
将点的坐标代入，得，解得，
故椭圆方程是.                                                ……4分
（2）问题等价于，即是否是定值问题.
椭圆的焦点坐标是，不妨取焦点，
当直线的斜率存在且不等于零时，
设直线的斜率为，则直线的方程是，
代入椭圆方程并整理得 
设，则.                  ……6分
根据弦长公式，
 =
==                                      ……8分
以代换，得                      ……9分
所以 
即                                        ……10分
当直线的斜率不存在或等于零时，
一个是椭圆的长轴长，一个是通径长度，
此时，即.
综上所述，故存在实数，使得.        ……12分
点评：圆锥曲线问题一般难度较大，要仔细分析，仔细运算，另外设直线方程时，要考虑到直线的斜率是否存在.