Question

4．三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，M在△ABC内，∠MPA=∠MPB=60°，则∠MPC=45°．

Answer 1

分析 过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ，由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，从而可得cos∠QPC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，即可求∠MPC．

解答 解：如图，过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ．
∵∠APB=∠APC=90°，∴AP⊥平面PBC，
∵MQ⊥平面PBC，∴AP∥MQ，
∵∠MPA=60°，∴∠MPQ=90°-60°=30°．
由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵∠QPC是∠QPB的余角，∴cos∠QPC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，得到cos∠MPC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠MPC=45°．
故答案为：45°．

点评 本题考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，利用好公式是关键，是中档题．