Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．

（1）求a，b的值；

（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值．

Answer 1

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（1）先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出a和b的值；

（2）由（1）求出f′（x），再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．

解答：

解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+5得，f′（x）=3x²+2ax+b，

∴y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为：

y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），

即y﹣（a+b+6）=（3+2a+b）（x﹣1），

整理得y=（3+2a+b）x+3﹣a．

又∵y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，

∴，解得，

∴a=2，b=﹣4．

（2）由（1）知f（x）=x³+2x²﹣4x+5，

f'（x）=3x²+4x﹣4=（3x﹣2）（x+2），

令f'（x）=0，得或x=﹣2．

当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：

x	﹣3	（﹣3，﹣2）	﹣2				1
f'（x）		+		﹣		+
f（x）	8	增	极大值	减	极小值	增	4

∴f（x）的极大值为f（﹣2）=13，极小值为，

又∵f（﹣3）=8，f（1）=4，

∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13．

点评：

本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值关系，属于中档题．