Question

已知椭圆过点，F₁、F₂为其左、右焦点，且△PF₁F₂的面积等于．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M、N是直线上的两个动点，满足F₁M⊥F₂N，问以MN为直径的圆C是否恒过定点？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△PF₁F₂的面积等于，求出椭圆的焦距，利用椭圆过点，求出a的值，从而可求椭圆E的方程；
（2）设M（-），N（-），利用F₁M⊥F₂N，可得mn=-，求出圆C的方程，令y=0，即可得出结论．
解答：解：（1）设椭圆的焦距为2c，则
∵△PF₁F₂的面积等于，∴
∴c=
∴F₁（-，0）、F₂（，0）
∵椭圆过点，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴a=2
∴b²=a²-c²=2
∴椭圆E的方程为；
（2）设M（-），N（-），则=（-），=（-）
∵F₁M⊥F₂N，∴
∴，∴mn=-
以MN为直径的圆C的圆心为（-，），半径为
∴圆C的方程为
即x²+y²+3x-（m+n）y+2=0
令y=0，整理得x²+3x+2=0
∴x=-1或x=-2
∴以MN为直径的圆C必过定点（-1，0）和（-2，0）．
点评：本题主要考查椭圆方程、直线与圆的方程，考查位置关系，考查运算能力，属于中档题．