Question

已知函数f（x）=x³+mx²-m²x+1（m为常数，且m＞0）有极大值9．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程．

Answer 1

分析：（I）求出导函数，求出导函数等于0的两个根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况的表格，求出极大值，列出方程求出m的值．
（II）将（I）求出的m的值代入导函数，利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率，令导数等于-5，求出x即切点横坐标，将横坐标代入f（x）求出切点坐标，利用直线方程的点斜式写出切线方程．

解答：解：（Ⅰ）f’（x）=3x²+2mx-m²=（x+m）（3x-m）=0，则x=-m或x=

1

3

m，
当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-m）	-m	（-m， 1 3 m）	1 3 m	（ 1 3 m，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

从而可知，当x=-m时，函数f（x）取得极大值9，
即f（-m）=-m³+m³+m³+1=9，∴m=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x³+2x²-4x+1，
依题意知f’（x）=3x²+4x-4=-5，∴x=-1或x=-

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3

．
又f（-1）=6，f（-

1

3

）=

68

27

，
所以切线方程为y-6=-5（x+1），或y-

68

27

=-5（x+

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3

），
即5x+y-1=0，或135x+27y-23=0．

点评：本题考查利用导数求函数的极值的步骤：求出导数；令导数为0求出根；列出表格判断根左右两边导函数的符号；求出极值．考查导数的几何意义：导数在切点处的值是曲线的切线斜率．