Question

如图，四棱锥P －ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点。

（1）证明：PB//平面EAC；

（2）若AD=2AB=2, 求直线PB与平面ABCD所成角的正切值；

 

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）要证平面，根据线面平行的判定定理，只需证明平行于平面中的一条直线．连接交于，连接，因为分别为的中点，根据三角形的中位线的性质，可知，从而问题得证；

（2）设为中点，连接，则，从而可得为直线与平面所成的角，进而可求与平面所成角正切值；

【解析】
（1）连结BD交AC于O，连结EO,

因为O、E分别为BD、PD的中点, 所以EO//PB, 2分

,所以PB//平面EAC。 5分

（2）设N为AD中点，连接PN，则 6分

又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD 7分

所以为直线PB与平面ABCD所成的角, 8分

又AD=2AB=2,则PN=, 10分

所以tan=， 12分；所以PB与平面ABCD所成角正切为值 13分

考点：1.线与平面平行的判定；2.直线与平面所成的角.