Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为.过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF₂的周长为8.过定点M(0，3)的直线l₁与椭圆C交于G，H两点(点G在点M，H之间)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l₁的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) ＝1(2)

(1)设椭圆的方程为＝1(a>b>0)，由离心率e＝＝，△ABF₂的周长为|AF₁|＋|AF₂|＋|BF₁|＋|BF₂|＝4a＝8，得a＝2，c＝1，则b²＝a²－c²＝3.
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)由题意可知，直线l₁的方程为y＝kx＋3(k>0)．
由得(3＋4k²)x²＋24kx＋24＝0，①
Δ＝(24k)²－4×24×(3＋4k²)>0，解得k>.
设椭圆的弦GH的中点为N(x₀，y₀)，则“在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形”等价于“在x轴上是否存在点P(m，0)，使得PN⊥l₁”．
设G(x₁，y₁)，H(x₂，y₂)，由韦达定理，得x₁＋x₂＝－，
则x₀＝＝－，所以y₀＝kx₀＋3＝，
即N，k_PN＝－.
从而－·k＝－1，
解得m＝－.
又因为m′(k)＝>0，
所以函数m＝－在定义域上单调递增，且m_min＝m＝－，即m∈.
故存在满足条件的点P(m，0)，m的取值范围为