Question

【题目】已知函数的图象与轴相切， ．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）若，求证：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，设的图象与轴相交于点，由题意可得在该点处导数值为0，函数值为0，构造方程组可得的值，将题意转化为，设，利用导数判断其单调性求出最大值即可；（Ⅱ）构造函数，对其求导结合（Ⅰ）可得的单调性，从而有，化简整理可得，运用换底公式及（Ⅰ）中的不等式可得 ，再次运用可得结论.

试题解析：（Ⅰ） ， 设的图象与轴相交于点，

则即

解得．

所以，

等价于．

设，则，

当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减，

所以，

即，（*），所以．

（Ⅱ）设，则，

由（Ⅰ）可知，当时， ，

从而有，所以单调递增，

又，所以，

从而有，即，

所以，即，

，

又，所以，

又，所以．

综上可知， ．