Question

从{1，2，3，…，n}中随机地抽出一个数x，按右边程序框图所给算法输出y．
（1）设n=10，求y＜0的概率；
（2）若P（y＞0）=

1

6

，记输出的y值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由程序框图所给的算法可知y是关于变量x的分段函数，通过解不等式求出y＜0包含的基本事件的个数为5，利用古典概型的概率公式求出n=10时，y＜0的概率．
（2）求出y＞0时，x可取的值，通过对n的讨论求出P（y＞0）的范围，根据已知条件P（y＞0）=

1

6

，求出n的值，求出
ξ的所有取值，并求出取各值的概率值，列出分布列，求出期望．

解答：解：（1）由程序框图所给的算法可知y是关于随机变量x的函数．
当x＜5时，由不等式2^x-8＜0可得x＜3，故x可取1，2；
当5≤x≤10时，由不等式x²-14x+45＜0可得5＜x＜9，故x可取6，7，8；
，从{1，2，3，…，10}中随机地抽出一个数x，基本事件的总数为10，
事件y＜0包含的基本事件的个数为5，
由古典概型的概率公式得n=10时，y＜0的概率为

5

10

=

1

2

；
（2）当x＜5时，由不等式2^x-8＞0可得x＞3，故x可取4；
当x≥5时，由不等式x²-14x+45＞0可得x＞9；
所以当n＜4时，p（y＞0）=0；
当4≤n＜10时，p（y＞0）=

1

n

，

1

9

≤p(y＞0)≤

1

4

；
当n≥10时，p（y＞0）=

1+n-9

n

=1-

8

n

，

1

5

＜p(y＞0)＜1．
由P（y＞0）=

1

6

知4≤n＜10，由

1

n

=

1

6

得n=6．
当x分别取1，2，3，4，5，6时，输出的y值依次为-6，-4，0，8，0，-3，
故ξ的分布列为

Eξ=-6×

1

6

-4×

1

6

-3×

1

6

+0×

1

6

+8×

1

6

=-

5

6

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查分类讨论的数学思想方法，是一个综合题，是近几年高考题目中经常出现的一个问题．