Question

已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，则

sinB

sinA

的取值范围为

（

5 -1

2

，

5 +1

2

）

．

Answer 1

分析：把要求的式子整理，首先切化弦，通分，逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角和之间的关系，最后角化边，得到要求的范围既是公比的范围，用公比表示出三条边，根据两边之和大于第三边，得到不等式组，得到结果．

解答：解：设三边的公比是q，三边为a，aq，aq²，
利用正弦定理化简得：

sinB

sinA

=

b

a

=q，
∵aq+aq²＞a，①
a+aq＞aq²，②
a+aq²＞aq，③
解三个不等式可得q＞

5 -1

2

，0＜q＜

5 +1

2

，
综上有：

5 -1

2

＜q＜

5 +1

2

，
则

sinB

sinA

的取值范围为（

5 -1

2

，

5 +1

2

）
故答案为：（

5 -1

2

，

5 +1

2

）

点评：此题考查了正弦定理，等比数列的性质，属于综合题目，包括三角函数的恒等变化，三角形内角之间的关系，一元二次不等式的解法，等比数列的应用，变量的范围的求解，化归思想的应用．