Question

如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．(12分)

（1）求椭圆的方程；（3分）
（2）求的最小值，并求此时圆的方程；（4分）
（3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．（5分）

Answer 1

（1）；（2），；（3）定值为4.

试题分析：（1）通过离心率和的值求出椭圆的方程.（2）假设M,N坐标求出的式子.M,N又在椭圆上同时M的坐标与N的坐标是对成的.根据M的横坐标的范围求出的范围.（3）假设P点的坐标根据M的坐标写出直线PR，并求出R的坐标。类似写出S的坐标.坐标都转化为M点的坐标表示形式.即可求出定值.本题知识量较大.涉及椭圆的标准方程的求法，最值问题，定值问题，这些问题的切入点都不好把握.要做好这类型题要有化归的思想，整理化简的能力，整体把握解题思路的能力.
试题解析：（1）依题意，得，，∴；
故椭圆的方程为．
（2）方法一：点与点关于轴对称，设，， 不妨设．
由于点在椭圆上，所以．
由已知，则，，
所以
．
由于，故当时，取得最小值为．
由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．
故圆的方程为：．
(3)设，则直线的方程为：，
令，得，同理：，
故
又点与点在椭圆上，故，，
代入（**）式，得：．
所以为定值．