Question

在等比数列{a_n}中，a₂a₃=32，a₅=32．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S₁+2S₂+…+nS_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的通项公式，由a₂a₃=32，a₅=32．建立方程组，解得a₁=2，q=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由a₁=2，q=2，得Sn=

2(1-2n)

1-2

=2（2ⁿ-1），故S₁+2S₂+…+nS_n=2[（2+2•2²+…+n•2ⁿ）-（1+2+…+n）]，利用错位相减法能够求出其结果．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意

a1q•a1q2=32 a1q4=32

，解得a₁=2，q=2，
∴an=2•2n-1=2n．
（2）∵a₁=2，q=2，
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

=2（2ⁿ-1），
∴S₁+2S₂+…+nS_n=2[（2+2•2²+…+n•2ⁿ）-（1+2+…+n）]，
设Tn=2+2•22+…+n•2n，①
则2T_n=2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2，
∴S₁+2S₂+…+nS_n=2[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2]-n（n+1）=（n-1）•2ⁿ⁺²+4-n（n+1）．

点评：本题考查等比数列和等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．