Question

已知曲线是动点到两个定点、距离之比为的点的轨迹。
（1）求曲线的方程；（2）求过点与曲线相切的直线方程。

Answer 1

（1）；(2），。

试题分析：（1）在给定的坐标系里，设点。
由及两点间的距离公式，得 ， ①…………3分
将①式两边平方整理得：
即所求曲线方程为：  ②…………………………5分
（2）由（1）得，其圆心为，半径为。
i)当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，显然与圆相切；…6分
ii) 当过点的直线的斜率存在时，设其方程为
即       ……………7分
由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，得
，解得，      …………8分
此时直线方程为           …………9分
所以过点与曲线相切的直线方程为，。………10分
点评：求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设P（x，y）是轨迹上的任意一点；②寻找动点P（x，y）所满足的条件；③用坐标（x，y）表示条件，列出方程f（x，y）=0；④化简方程f（x，y）=0为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证。