Question

已知函数f（x）=

x- 2 x ，(x＞ 1 2 ) x2+2x+a-1，(x≤ 1 2 )

（1）若a=1，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[-1，+∞）上为增函数，求a的范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=0，可得①

x- 2 x =0 x＞ 1 2

，或②

x2+2x=0 x≤ 1 2

，分别解①和②，求得x的值，即为所求．
（2）显然，函数g（x）=x-

2

x

在[

1

2

+∞）上递增，且g（

1

2

）=-

7

2

；h（x）=x²+2x+a-1在[-1

1

2

]也递增，且h（

1

2

）=a+

1

4

，则由题意可得a+

1

4

≤-

7

2

，由此求得a的范围．

解答：解：（1）若a=1，由f（x）=0，可得①

x- 2 x =0 x＞ 1 2

，或②

x2+2x=0 x≤ 1 2

．
解①求得x=

2

，解②求得x=0，或 x=-2．
综上可得，函数f（x）的零点为

2

，0，-2．
（2）显然，函数g（x）=x-

2

x

在[

1

2

+∞）上递增，且g（

1

2

）=-

7

2

；
函数h（x）=x²+2x+a-1在[-1

1

2

]也递增，且h（

1

2

）=a+

1

4

，
故若函数f（x）在[-1+∞）上为增函数，
则 a+

1

4

≤-

7

2

，
即a≤-

15

4

．

点评：本题主要考查求函数的零点，函数的单调性的判断以及性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题