Question

已知奇函数f（x）定义域R，且f（x）在[0，+∞）为增函数，是否存在m∈R，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对[0，]恒成立，若存在，求m的范围．

Answer 1

【答案】分析：奇函数f（x）定义域R，故f（0）=0，不等式f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）可转化为f（cos2θ-3）＞f（-4m+2mcosθ），再由f（x）在[0，+∞）为增函数，得在R上是增函数，由单调性解不等式即可．
解答：解：由题意知，奇函数f（x）在R上是增函数，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）可f（cos2θ-3）＞f（-4m+2mcosθ），即cos2θ-3＞-4m+2mcosθ，
即cos2θ-3＞m（2cosθ-4），由于2cosθ-4＜0，故得m＞==4+cosθ-2+，由于4+cosθ-2+≤4-2，所以m＞4-2
即存在m＞4-2使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对[0，]恒成立，
答：存在存在m∈R，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对[0，]恒成立，m的范围是m＞4-2
点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，综合考查了利用函数的性质解抽象不等式恒成立的问题，本题综合性较强，比较抽象，解决本题的关键是灵活运用函数的性质进行正确转化．