Question

 3. 如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.

（1）求证：AO、BO、CO两两垂直；

（2）求〈,〉.

Answer 1

（1）证明略（2）45°

解析:

(1)  设=a,=b, =c,正四面体的棱长为1,

则=(a+b+c),=(b+c-5a),

=(a+c-5b), =(a+b-5c)

∴·=（b+c-5a）·（a+c-5b）

=（18a·b-9|a|²）

=（18×1×1·cos60°-9）=0.

∴⊥，∴AO⊥BO，

同理⊥，BO⊥CO，

∴AO、BO、CO两两垂直.

（2）  =+=-（a+b+c）+

=(-2a-2b+c).

∴||==，

||==，

·=（-2a-2b+c）·（b+c-5a）=，

∴cos〈,〉==，

∵〈,〉∈(0,),∴〈, 〉=45°.