Question

【题目】设椭圆，定义椭圆的“相关圆”的方程为，若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.

（1）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；

（2）若直线与圆相切，且与椭圆交于两点，为坐标原点.

①求证：；

②求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）①证明见解析； ②

【解析】

（1）由抛物线焦点为及椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，即可求得，从而可得到本题答案；

（2）①分直线l的斜率存在和不存在两种情况考虑，求出的值，即可得到本题结论；②算出直线斜率不存在时的值，以及斜率存在时的最大值，通过比较大小，即可得到本题答案.

（1）易知抛物线焦点为，

又由的一个短轴端点与两焦点构成直角三角形，

可得，

椭圆的方程为，

相关圆的方程为.

（2）①（i）斜率不存在时，可得的方程为，

联立，

即或

，

；

（ii）斜率存在时，可设的方程为，，联立，

，

由圆与相切可得，

，

由（i）（ii）知，恒成立.

②斜率不存在时，由①可得，

斜率存在时，由①可得

，

令，则，

，

（当且仅当时取“”）

.