Question

关于函数y=sin|2x|+|sin2x|下列说法正确的是（　　）

• A、是周期函数，周期为π
• B、关于直线x=

  π

  4

  对称
• C、在[-

  π

  3

  ，

  7π

  6

  ]上最大值为

  3

• D、在[-

  π

  2

  ，-

  π

  4

  ]上是单调递增的

Answer 1

分析：令y=f（x）=sin|2x|+|sin2x|，
A：利用y=sin2|x|不是周期函数，可判断A的正误；
B：利用f（-

π

4

）≠f（

3π

4

）可判断B的正误；
C：利用f（

π

4

）=2＞

3

可判断C的正误；
D：当x∈[-

π

2

，-

π

4

]时，f（x）=-sin2x-sin2x=-2sin2x，利用正弦函数的单调性即可判断D之正误．

解答：解：令y=f（x）=sin|2x|+|sin2x|，
A：∵y=sin2|x|不是周期函数，
∴函数y=sin|2x|+|sin2x|不是周期函数，故A错误；
B：∵-

π

4

+

3π

4

=

π

2

，即点（-

π

4

，0）与点（

3π

4

，0）关于直线x=

π

4

对称，
又f（-

π

4

）=1+1=2，f（

3π

4

）=-1+1=0，f（-

π

4

）≠f（

3π

4

），
∴y=sin|2x|+|sin2x|的图象不关于直线x=

π

4

对称，故B错误；
C：∵

π

4

∈[-

π

3

，

7π

6

]，且f（

π

4

）=1+1=2＞

3

，故C错误；
D：当x∈[-

π

2

，-

π

4

]时，f（x）=-sin2x-sin2x=-2sin2x，
由2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

（k∈Z），
∴f（x）=-2sin2x的单调递增区间为：[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]（k∈Z），
当k=-1时，-

3π

4

≤x≤-

π

4

，
∴f（x）=sin|2x|+|sin2x|=-2sin2x在区间[-

3π

4

，-

π

4

]上单调递增，而[-

π

2

，-

π

4

]?[-

3π

4

，-

π

4

]，
∴f（x）=sin|2x|+|sin2x|在区间[-

π

2

，-

π

4

]上单调递增，故D正确．
故选：D．

点评：本题考查正弦函数的对称性、周期性、单调性及最值，考查综合分析与应用能力，属于难题．