题目内容

给定抛物线C：y²=4x，F是其焦点，过F的直线l：y=k（x-1），它与C相交于A、B两点．如果 $数学公式$ 且 $数学公式$ ．那么k的变化范围是

A.
[ $数学公式$ ]
B.
$数学公式$
C.
[ $数学公式$ ]∪[- $数学公式$ ，- $数学公式$ ]
D.
（-∞，- $数学公式$ ]∪[ $数学公式$ ，+∞）

C
分析：根据 $\text{[math]}$ 得关于x₂和y₂的方程组，进而求得x₂=λ．得到B的坐标，根据焦点坐标可得直线的方程，进而求得直线在y轴上的截距，根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是递减的，进而得到答案．
解答：由题设知 $\text{[math]}$ 得：（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），即 $\text{[math]}$ （2）
由（2）得y₂²=λ²y₁²，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x²，∴x₂=λ²x₁（3）
联立（1）（3）解得x₂=λ．依题意有λ＞0．
∴B（λ，2 $\text{[math]}$ ）或B（λ，-2 $\text{[math]}$ ），又F（1，0），
得直线l的方程为（λ-1）y=2 $\text{[math]}$ （x-1）或（λ-1）y=-2 $\text{[math]}$ （x-1）
当λ∈ $\text{[math]}$ 时，l在y轴上的截距为 $\text{[math]}$ 或- $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可知 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是递减的，
∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ≤- $\text{[math]}$ ≤- $\text{[math]}$
直线l在y轴上截距的变化范围是[ $\text{[math]}$ ]∪[- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ]
故选C．
点评：本题主要考查了抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生对圆锥曲线知识的综合掌握．