Question

设O为原点，圆x²+y²=8内有一点P（1，2），AB和CD为过点P的弦．
（1）当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
（2）若，求直线AB的斜率；
（3）若AB⊥CD，求四边形ABCD面积的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得，OP⊥AB，结合直线垂直的条件可求K_AB，即可求解
（2）①若AB的斜率不存在，可求出设A，B，进而可求
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为y-2=k（x-1），联立直线与圆的方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入=x₁x₂+y₁y₂，结合已知可求k
（3）设∠OPC=θ，则点O到直线AB的距离d₁=|OP|sinθ，|AB|=2=，O到CD的距离d₂=|OP|cosθ=，|CD|=2，代入四边形ABCD的面积S=，结合三角函数可求最值
解答：解：（1）若弦AB被P平分，则OP⊥AB
∵K_AP=2
∴K_AB=-
∴直线AB方程为y-2=-（x-1）即x+2y+5=0
（2）①若AB的斜率不存在，则不妨设A（1，），B（1，-）
∴=-6不合题意，舍去
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为y-2=k（x-1）
由可得（1+k²）x²+（4k-2k²）x+k²-4k-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x₁+x₂=，x₁x₂=
∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+[kx₁+（2-k）][kx₂+（2-k）]
=（1+k²）x₁x₂+k（2-k）（x₁+x₂）+（2-k）²
=k²-4k-4=1
∴7k²+8k+1=0
解可得，或k=-1
故直线AB的斜率为-1或-
（3）设∠OPC=θ，则点O到直线AB的距离d₁=|OP|sinθ=
∴|AB|=2=
同理O到CD的距离d₂=|OP|cosθ=
∴|CD|=2=
∴四边形ABCD的面积S==
=2
=2
∴S_max=11，
点评：本题主要考查了直线位置关系的应用，直线与圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，三角函数在求解最值中的应用．