Question

若关于x的不等式（组）0≤x2+

7

9

x-

2n

(2n+1)2

＜

2

9

对任意n∈N^*恒成立，则所有这样的解x的集合是

{-1，

2

9

}

．

Answer 1

分析：将

2n

(2n+1)2

的分子分母同除2ⁿ，结合“对勾函数“的单调性，求出

2n

(2n+1)2

=

1

(2n+ 1 2n )+2

∈（0，

2

9

]，进而将恒成立问题转化为最值问题后，可得x2+

7

9

x-

2

9

=0，解方程可得答案．

解答：解：若0≤x2+

7

9

x-

2n

(2n+1)2

＜

2

9

对任意n∈N^*恒成立，
即

2n

(2n+1)2

-

2

9

≤x2+

7

9

x-

2

9

＜

2n

(2n+1)2

对任意n∈N^*恒成立，
∵

2n

(2n+1)2

=

1

(2n+ 1 2n )+2

∈（0，

2

9

]
故0≤x2+

7

9

x-

2

9

≤0
即x2+

7

9

x-

2

9

=0
解得x=-1或x=-

2

9

故所有这样的解x的集合是{-1，

2

9

}
故答案为：{-1，

2

9

}

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，基本不等式，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．