题目内容
在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，
•
=8，a=4．
（Ⅰ）求bc的最大值及A的取值范围；
（Ⅱ）求函数f(A)=2
sin2(
+A)+2cos2A-
的值域．
| AC |
| AB |
（Ⅰ）求bc的最大值及A的取值范围；
（Ⅱ）求函数f(A)=2
| 3 |
| π |
| 4 |
| 3 |
分析：（Ⅰ）由
•
=bc•cosA=8，知b2+c2=32，由b2+c2≥2bc，知bc的最大值为16，即
≤16，由此能求出bc的最大值及A的取值范围．
（Ⅱ）由f(A)=
•[1-cos(
+2A)]+1+cos2A-
=
sin2A+cos2A+1=2sin(2A+
)+1，0＜A≤
，知
＜2A+
≤
，
≤sin(2A+
)≤1，由此能求出所求的值域．
| AC |
| AB |
| 8 |
| cosA |
（Ⅱ）由f(A)=
| 3 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ）
•
=bc•cosA=8，
b2+c2-2bccosA=42，
即b2+c2=32…（2分）
又b2+c2≥2bc，
所以bc≤16，
即bc的最大值为16…（4分）
即
≤16，
所以 cosA≥
，
又0＜A＜π，
所以0＜A≤
…（6分）
（Ⅱ）f(A)=
•[1-cos(
+2A)]+1+cos2A-
=
sin2A+cos2A+1=2sin(2A+
)+1…（9分）
因0＜A≤
，
所以
＜2A+
≤
，
≤sin(2A+
)≤1…（11分）
2≤2sin(2A+
)+1≤3，
所求值域为[2，3]…（13分）
| AC |
| AB |
b2+c2-2bccosA=42，
即b2+c2=32…（2分）
又b2+c2≥2bc，
所以bc≤16，
即bc的最大值为16…（4分）
即
| 8 |
| cosA |
所以 cosA≥
| 1 |
| 2 |
又0＜A＜π，
所以0＜A≤
| π |
| 3 |
（Ⅱ）f(A)=
| 3 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
因0＜A≤
| π |
| 3 |
所以
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
2≤2sin(2A+
| π |
| 6 |
所求值域为[2，3]…（13分）
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，解题时要认真审题，仔细解答，合理地进行等价转化．
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