题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程 $数学公式$ -2e（e为自然对数的底数）仅有有两个不等的实根，求a的取值范围．

解：（1）函数F（x）的定义域为（0，+∞），F′（x）=1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（1分）
设h（x）=x²+x-a，方程x²+x-a=0的判别式△=1+4a，
①当△≤0时，即a≤- $\text{[math]}$ ，F'（x）＞0，F（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间 …（3分）
②当△＞0时，方程x²+x-a=0的两根为x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，
（i）当 $\text{[math]}$ ，即- $\text{[math]}$ ＜a≤0时，F'（x）＞0，
F（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间
（ii）当 $\text{[math]}$ ，即a＞0时，当x∈（0， $\text{[math]}$ ）时，F'（x）＜0，
当x∈（ $\text{[math]}$ ，+∞）时，F'（x）＞0，
可得，当a＞0时，F（x）的单调增区间为（0， $\text{[math]}$ ，单调减区间（ $\text{[math]}$ ，+∞）．

（2）方程 $\text{[math]}$ -2e=f（x）? $\text{[math]}$ ?lnx=x2-a? $\text{[math]}$ …（7分）
令G（x）= $\text{[math]}$ ，则G（x）的定义域为（0，+∞），
G′（x）= $\text{[math]}$ ＞0，得0＜x＜e，∴G′（x）＜0得x＞e，
所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（ e，+∞）上单调递减 …（10分）
G（x）_min=G（ e）= $\text{[math]}$ ，函数G（x）的大致图象如图所示．

令H（x）=x²-2ex+a，则H（x）在x=e时取得最小值H（e）=a-e ²，
关于x的方程 $\text{[math]}$ -2e（e为自然对数的底数）仅有有两个不等的实根，
必有a-e²＜ $\text{[math]}$ ，∴a＜e²+ $\text{[math]}$
所以a的取值范围是a＜e²+ $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）求导，令导数大于零，对a分情况讨论，根据一元二次不等式的解的情况，即可求得结论；
（2）关于x的方程 $\text{[math]}$ -2e恰有两个不等的实根，等价于 $\text{[math]}$ 恰有两个不等的实根，令G（x）= $\text{[math]}$ ，利用导数工具，将问题转化为求函数的最值问题，即可求得结论．
点评：掌握导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．考查了计算能力和分析解决问题的能力，体现了分类讨论和转化的数学思想．