题目内容

已知定义在R上的函数f(x)对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立．求证：

(1)函数f(x)在R上是减函数；

(2)函数f(x)是奇函数．

答案：
解析：

　　证明：(1)任取x1＞x2，则x1－x2＞0，得f(x1－x2)＜0．

　　又f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，

　　所以f(x1)＝f(x1－x2＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＜f(x2)，

　　故函数f(x)在R上是减函数．

　　(2)由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

　　即f(x)＋f(－x)＝f(0)．

　　又f(0)＝2f(0)，

　　得f(0)＝0，

　　所以f(－x)＝－f(x)．

　　故函数f(x)是奇函数．


练习册系列答案
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已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列条件：
①对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
③y=f（x+1）是偶函数，
则下列不等式中正确的是（　　）
已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
log2(1-x)，       x≤0
  则：
①f（3）的值为
0
0
，
②f（2011）的值为
-1
-1
．
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]时f(x)=
1，(-1＜x≤0)
-1，(0＜x≤1)
，则f（3）=（　　）
已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对x∈R都有f（2+x）=f（2-x），当f（-3）=-2时，f（2013）的值为（　　）
A、-2B、2C、4D、-4
已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则f（2013）=（　　）
A、0B、2013C、3D、-2013

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