题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足 $数学公式$ ，证明：{b_n}是等差数列；
（3）证明： $数学公式$ ．

解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1）（2分）
故数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（3分）
∴a_n+1=2ⁿ，a_n=2ⁿ-1（4分）

（2）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （5分）
2（b₁+b₂++b_n）-2n=nb_n①2（b₁+b₂++b_n+b_n+1）-2（n+1）=（n+1）b_n+1②
②-①得2b_n+1-2=（n+1）b_n+1-nb_n，
即nb_n-2=（n-1）b_n+1③（8分）
∴（n+1）b_n+1-2=nb_n+2④
④-③得2nb_n+1=nb_n+nb_n-1，即2b_n+1=b_n+b_n-1（9分）
所以数列{b_n}是等差数列．

（3）∵ $\text{[math]}$ （11分）
设 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （13分）
$\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）由题设知a_n+1+1=2（a_n+1），所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a_n=2ⁿ-1．
（2）由题设知 $\text{[math]}$ ，由此能推导出nb_n-2=（n-1）b_n+1，从而得到2b_n+1=b_n+b_n-1，所以数列{b_n}是等差数列．
（3）设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能够证明出 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列和不等式的综合应用题，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．