Question

如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.

(1)求证:AO⊥平面BCD;

(2)求异面直线AB与CD所成角的大小;

(3)求点E到平面ACD的距离.

Answer 1

(1)证明:连结OC.

∵BO=DO,AB=AD,

∴AO⊥BD.

∵BO=DO,BC=CD,

∴CO⊥BD.

在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=,而AC=2,

∴AO²+CO²=AC².

∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.

∵BD∩OC=O,

∴AO⊥平面BCD.

(2)解析:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.

在△OME中,EM=AB=,OE=DC=1.

∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,

∴OM=AC=1.

∴cos∠OEM=.

∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.

(3)解析:设点E到平面ACD的距离为h.

∵V_E—ACD=V_A—CDE,

∴h·S_△ACD=·AO·S_△CDE.

在△ACD中,CA=CD=2,AD=,

∴S_△ACD=×.

而AO=1,S_△CDE=×,

∴h=.

∴点E到平面ACD的距离为.