Question

在△ABC中，已知tanA=

1

2

，tanB=

1

3

且最长边为

5

．
（Ⅰ）求∠C的值；
（Ⅱ）求△ABC最短边的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用诱导公式得到tanC=tan（A+B），再利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanA与tanB的值代入计算求出tanC的值，利用特殊角的三角函数值即可求出∠C的值；
（Ⅱ）根据题意得到最短边为AC，根据tanB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，根据sinC，sinB，以及AB的值，利用正弦定理即可求出AC的长．

解答：解：（Ⅰ）∵tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，
∴tanC=-tan（A+B）=-

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=-1，
又∵0＜C＜π，∴C=

3π

4

；
（Ⅱ）易知最短边为AC，∵tanB=

1

3

，∠B为三角形内角，
∴cosB=

1 tan2B+1

=

3 10

10

，sinB=

1-cos2B

=

10

10

，
由正弦定理

AC

sinB

=

AB

sinC

，即

AC

10 10

=

5

2 2

，
∴AC=1．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．