Question

已知动圆过定点M（0，1），且与直线L：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别
为α和β，当α，β变化且α+β=θ（0＜θ＜π且θ≠

π

2

）为定值时，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）依据抛物线的定义即可得C的轨迹的方程；
（2）欲求证直线AB恒过定点，可先根据条件求出带参数θ的直线AB的方程，再结合θ为定值即可证得．

解答：解：（1）由抛物线定义知C的轨迹是抛物线，且p=2，
∴动圆圆心C的轨迹方程：x²=4y（6分）
（2）设点A(x1，

x12

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)
则直线AB的方程为：y-

x 2 1

4

=

x 2 2 4 - x 2 1 4

x2-x1

(x-x1)，
化简得：y=

x2+x1

4

x-

x1x2

4

（9分）
又因为tanα=

x 2 1 4

x1

=

x1

4

，tanβ=

x 2 2 4

x2

=

x2

4

由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

x1+x2 4

1- x1x2 16

则tanθ=

x1+x2 4

1- x1x2 16

，
所以

x1x2

4

=4-

x1+x2

tanθ

（12分）
所以直线AB方程为y=

x2+x1

4

x-4+

x1x2

tanθ

即y=

x2+x1

4

(x+

4

tanθ

)-4
所以直线AB过定点(-

4

tanθ

，-4)．（15分）

点评：定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．