Question

已知动圆过定点M（0，1），且与直线L：y=-1相切．．
（1）求动圆圆心C的轨迹的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别
为α和β，当α，β变化且α+β=θ为定值时，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）依据抛物线的定义即可得C的轨迹的方程；
（2）欲求证直线AB恒过定点，可先根据条件求出带参数θ的直线AB的方程，再结合θ为定值即可证得．
解答：解：（1）由抛物线定义知C的轨迹是抛物线，且p=2，
∴动圆圆心C的轨迹方程：x²=4y（6分）
（2）设点
则直线AB的方程为：，
化简得：（9分）
又因为，
由α+β=θ，得tanθ=
则，
所以（12分）
所以直线AB方程为
即
所以直线AB过定点．（15分）
点评：定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．