Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，

AB

∥

OM

．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点，F₁、F₂分别是左、右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围．

Answer 1

依题意，作图如图：
（1）设F₁（-c，0），则x_M=-c，y_M=

b2

a

，
∴k_OM=-

b2

ac

．
∵k_AB=-

b

a

，

OM

∥

AB

，
∴-

b2

ac

=-

b

a

，
∴b=c，故e=

c

a

=

2

2

．
（1）设|F₁Q|=r₁，|F₂Q|=r₂，∠F₁QF₂=θ，
∴r₁+r₂=2a，|F₁F₂|=2c．
cosθ=

r12+ r 22 -4c2

2r1r2

=

(r1+r2)2-2r1r2-4c2

2r1r2

=

2b2

r1r2

-1≥

2b2

( r1+r2 2 )2

-1=0，
当且仅当r₁=r₂时，cosθ=0，
∴θ∈[0，

π

2

]．