Question

（本题满分18分）在平面直角坐标系中，已知动点，点点与点关于直线对称，且.直线是过点的任意一条直线．

（1）求动点所在曲线的轨迹方程；

（2）设直线与曲线交于两点，且，求直线的方程；

（3） 设直线与曲线交于两点，求以的长为直径且经过坐标原点的圆的方程．

Answer 1

（1） ； （2） ； （3） ．

【解析】

试题分析：（1）求出N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，化简即可得到轨迹方程；

（2）设l：y=k（x-1），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，即可求得斜率，进而得到直线方程；

（3）由于当直线轴时，，点到圆心的距离为1.即点在圆外，不满足题意.所以满足题意的直线的斜率存在，设为，则，由（2）可得，由点O在圆上知：，从而由向量的数量积可求出k的值，进而就可求出半径和圆心坐标，所以就可写出圆的方程.

试题解析：（1）依据题意，可得点.

．

又，

.

所求动点的轨迹方程为.

（2） 若直线轴，则可求得，这与已知矛盾，因此满足题意的直线不平行于轴．

设直线的斜率为，则．

由 得．

设点，有 且恒成立（因点在椭圆内部）．

又，

于是，，即，

解得．

所以，所求直线．

（3） 当直线轴时，，点到圆心的距离为1.即点在圆外，不满足题意.

满足题意的直线的斜率存在，设为，则.

设点，由（2）知，进一步可求得

依据题意，有，

，

即，解得.

所求圆的半径，

圆心为.

所求圆的方程为：.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题.