Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足

OC

=(m

OA

+n

OB

)，其中m，n∈R且m-2n=1．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：

1

a2

-

1

b2

为定值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于

3

，求双曲线实轴长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由向量等式，得点C的坐标，消去参数即得点C的轨迹方程；
（2）将直线与双曲线方程组成方程组，利用方程思想，求出x₁x₂+y₁y₂，再结合向量的垂直关系得到关于a，b的关系，化简即得结论．
（3）由（2）得

1

a2

-

1

b2

=2从而b 2=

a 2

1-2a2

又e≤

3

得出e 2=

a 2+b 2

a 2

≤3．解得双曲线实轴长2a的取值范围即可．

解答：解：（1）设C（x，y），∵

OC

=(m

OA

+n

OB

)
∴（x，y）=m（1，0）+n（0，-2）．
∴

x=m y=-2n

∵m-2n=1，
∴x+y=1
即点C的轨迹方程为x+y=1（15分）
（2）由

x+y=1 x2 a2 - y2 b2 =1

得（b²-a²）x²+2a²x²-a²-a²b²=0
由题意得

b2-a2≠0 (2a2)2+4(b2-a2)(a2+a2b2)=4a2(b4+b2-a2)＞0

（8分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则 x1+x2=-

2a2

b2-a2

，x1x2=-

a2+a2b2

b2-a2

∵以MN为直径的圆过原点，∴

OM

•

ON

=0．即x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+2x₁x₂
=1+

2a2

b2-a2

-

2(a2+a2b2)

b2-a2

=0．即b²-a²-2a²b²=0．
∴

1

a2

-

1

b2

=2为定值．（14分）
（3）∵

1

a2

-

1

b2

=2
∴b 2=

a 2

1-2a2

∵e≤

3

∴e 2=

a 2+b 2

a 2

≤3．
∴1+

1

1-2a 2

≤3
解得：0＜a≤

1

2

，0＜2a≤1
∴双曲线实轴长的取值范围是（0，1]．

点评：本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．