题目内容

已知f′（x）是函数f（x）= $数学公式$ x²+ $数学公式$ （n∈N^*）的导函数，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f′（a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n-1）（2-a_n），S_n为数列{b_n}前n项和，求S_n．

解（1）∵函数f（x）= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ ，n∈N^*，
∴f′（x）=x+ $\text{[math]}$ ，于是a_n+1=f′（a_n）=a_n+ $\text{[math]}$ ，从而 a_n+1-a_n= $\text{[math]}$ ，n∈N^*，（3分）
∴a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，即 a_n=2- $\text{[math]}$ ，n∈N^*．（6分）
（2）∵b_n=（2n-1）（2-a_n）=（2n-1）• $\text{[math]}$ ，
∴S_n=1×1+3× $\text{[math]}$ +5× $\text{[math]}$ +…+（2n-1） $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ =1× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +5× $\text{[math]}$ +…+（2n-1） $\text{[math]}$ ，
用错位相减法求得（1- $\text{[math]}$ ）S_n=1+2[ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ]-（2n-1） $\text{[math]}$ =3- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =3- $\text{[math]}$ ，…（9分）
故S_n=6- $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）由条件求出f′（x）=x+ $\text{[math]}$ ，于是a_n+1=f′（a_n）=a_n+ $\text{[math]}$ ，计算 a_n-a₁ 的值为1- $\text{[math]}$ ，可得 a_n．
（2）由于bn=（2n-1）（2-a_n）=（2n-1）• $\text{[math]}$ ，求出前n项和 S_n 的解析式，用错位相减法求得（1- $\text{[math]}$ ）S_n 的值，
即可求得S_n的值．
点评：本题主要考查导数的运算，数列与函数的综合应用，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．