Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥平面α，AB=2BC=2CD=4，点P为α内一动点，且∠APB=∠DPC，则P点的轨迹为（　　）

A、直线

B、圆

C、椭圆

D、双曲线

Answer 1

分析：由题意，可通过题设条件研究PB与PC两个线段的数量关系，先由题设条件证得△APB∽△DPC，得出PB：PC=2，再根据在一个平面中到两个定点距离的比是常数（此常数不为1，为1时轨迹是线段的垂直平分线）的点的轨迹是圆得到点的轨迹的性质是圆，即可选出正确选项

解答：解：∵AB‖CD，且AB⊥平面α
∴CD⊥平面α
且AB⊥BP  CD⊥CP
∵∠APB=∠DPC
∴△APB∽△DPC
∴PB：PC=AB：CD
∵AB=2CD
∴PB：PC=2
∵2BC=4
∴BC=2
∴B、C是定点
∴P点的轨迹是圆

点评：本题考察轨迹方程的问题，作为一个选择题，本题只要求确定轨迹的性质，解答本题关键是能由题设条件得出动点到两定点的距离之比是一个常数，再由圆中的一个结论“一个平面中到两个定点距离的比是常数（此常数不为1，为1时轨迹是线段的垂直平分线）的点的轨迹是圆得到点的轨迹的性质是圆”判断出点的轨迹的性质，本题较抽象，尤其是最后判断点的轨迹的性质的这个结论用得比较少，不易想起，此性质可以建立坐标系，用解析法求出其轨迹方程验证