题目内容
已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，f′（x）为f（x）的导函数，g（x）=a•ex（a，b，c∈R）．
（1）求b，c的值；
（2）若存在x0∈（0，2]，使g（x0）=f′（x0）成立，求a的范围．
（1）求b，c的值；
（2）若存在x0∈（0，2]，使g（x0）=f′（x0）成立，求a的范围．
分析：（1）由f′（x）=3x2+2bx+c，知f（x）在x=1处的切线方程为y=（3+2b+c）x-2-b，故
，由此能求出f（x）．
（2）若存在x0∈（0，2]使g(x0)=f′(x0)成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，故a=
，令h(x)=
，则h′(x)=
=-
，由此能求出a的取值范围．
|
（2）若存在x0∈（0，2]使g(x0)=f′(x0)成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，故a=
| 3x2-3x+3 |
| ex |
| 3x2-3x+3 |
| ex |
| 6x-3-3x2+3x-3 |
| ex |
| 3(x2-3x+2) |
| ex |
解答：解：（1）∵f′（x）=3x2+2bx+c，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-（1+b+c）=（3+2b+c）（x-1），
即y=（3+2b+c）x-2-b，
∴
，即
，
∴f(x)=x3-
x2+3x．
（2）若存在x0∈（0，2]使g(x0)=f′(x0)成立，
即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，
∴a•ex=3x2-3x+3，
∴a=
，
令h(x)=
，
∴h′(x)=
=
=-
，
令h′（x）=0，得x1=1，x2=2，列表讨论：
∴h（x）有极小值h（1）=
，h（x）有极大值h（2）=
，
且当x→0时，h（x）→3＞
，
∴a的取值范围是[
，3)．
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-（1+b+c）=（3+2b+c）（x-1），
即y=（3+2b+c）x-2-b，
∴
|
|
∴f(x)=x3-
| 3 |
| 2 |
（2）若存在x0∈（0，2]使g(x0)=f′(x0)成立，
即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，
∴a•ex=3x2-3x+3，
∴a=
| 3x2-3x+3 |
| ex |
令h(x)=
| 3x2-3x+3 |
| ex |
∴h′(x)=
| 6x-3-3x2+3x-3 |
| ex |
=
| -3x2+9x-6 |
| ex |
=-
| 3(x2-3x+2) |
| ex |
令h′（x）=0，得x1=1，x2=2，列表讨论：
| x | （0，1） | 1 | （1，2） | 2 |
| h′（x） | - | 0 | + | 0 |
| h（x） | ↓ | 极小值 | ↑ | 极大值 |
| 3 |
| e |
| 9 |
| e2 |
且当x→0时，h（x）→3＞
| 9 |
| e2 |
∴a的取值范围是[
| 3 |
| e |
点评：本题考查实数值和实数取值范围的求法，具体涉及到导数的应用、函数极值的求法和应用、切线方程的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
赢在课堂名师课时计划系列答案
天天向上课时同步训练系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|