题目内容
已知函数y=loga（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A．若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，当
有最小值时，椭圆
的离心率为 ．
【答案】分析：由题意可得定点A（-2，-1），2m+n=1，把要求的式子化为4+
+
，利用基本不等式求得取得最小值时相应的m，n的值，最后代入椭圆方程即可求得其离心率．
解答：解：∵x=-2时，y=log21-1=-1，
∴函数y=log2（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1）即A（-2，-1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，
+
=
+
=2+
+
+2≥4+2•
=8，
当且仅当m=
，n=
时取等号．
∴椭圆
即
离心率为：
=
故答案为：
．
点评：本题考查椭圆的简单性质、基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4+
+
，是解题的关键．
+
，利用基本不等式求得取得最小值时相应的m，n的值，最后代入椭圆方程即可求得其离心率．解答：解：∵x=-2时，y=log21-1=-1，
∴函数y=log2（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1）即A（-2，-1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，
+
=
+
=2+
+
+2≥4+2•
=8，当且仅当m=
，n=
时取等号．∴椭圆
即
离心率为：
=
故答案为：
．点评：本题考查椭圆的简单性质、基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4+
+
，是解题的关键． 
练习册系列答案
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